Les mathématiciens sont sur le point de découvrir le plus grand mystère derrière les nombres premiers

Les nombres premiers, les « atomes de l’arithmétique », captivent les mathématiciens depuis des siècles. Ces nombres, divisibles uniquement par eux-mêmes et par un, semblent trompeusement aléatoires mais cachent des schémas complexes. Percer les secrets de leur distribution pourrait éclairer de vastes domaines des mathématiques, révélant ainsi des liens entre les disciplines.

Euclide a prouvé pour la première fois la nature infinie des nombres premiers vers 300 avant notre ère, jetant ainsi les bases de siècles d’exploration. Depuis lors, les mathématiciens ont approfondi ses découvertes, montrant que des nombres premiers infinis existent également selon des critères de plus en plus stricts.

Par exemple, ils ont cherché à savoir si les nombres premiers évitant des chiffres spécifiques ou prenant des formes particulières (comme les sommes de carrés) s’étendaient également à l’infini. Ces investigations, bien que difficiles, offrent des informations plus approfondies sur l’ordre caché des nombres premiers.

Récemment, preuve révolutionnaire par Ben Green de l’Université d’Oxford et Mehtaab Sawhney de l’Université de Columbia ont apporté une nouvelle clarté à l’un de ces problèmes. Le duo a démontré qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme p² + 4q² où p et q sont eux-mêmes premiers. Cette hypothèse de longue date posait des défis uniques.

Le concept de « nombres premiers approximatifs », une approximation moins rigide des nombres premiers, était au cœur de leur succès. En assouplissant les contraintes, Green et Sawhney ont rendu le problème plus accessible sans perdre son essence. Ils se sont ensuite tournés vers la norme de Gowers, un outil issu d’une branche apparemment sans rapport des mathématiques, pour combler le fossé entre les nombres premiers approximatifs et les nombres premiers réels.

Leur partenariat met en évidence la nature collaborative des mathématiques modernes. Sawhney, récemment diplômé, s’est inspiré des travaux antérieurs de Green, qui ont inspiré ses propres études. Ensemble, ils ont combiné l’expertise approfondie de Green avec la nouvelle perspective de Sawhney, créant une solution qui a repoussé les limites de la théorie des nombres premiers.

Au-delà de son importance immédiate, cette avancée démontre la puissance des outils transdisciplinaires. La nouvelle application de la norme de Gowers pourrait conduire à de nouvelles connaissances sur la théorie des nombres et au-delà. Compte tenu de l’importance cruciale que revêtent les mathématiques et la physique l’une pour l’autre, une meilleure compréhension des nombres premiers pourrait profiter à bien plus que les seuls mathématiciens.